Come promesso, ecco la soluzione del problema del coltellino.
Riproponiamo innanzi tutto il testo del problema.
Due fratelli portano dei polli al mercato, e li vendono tutti al prezzo unitario uguale al numero dei polli che avevano all’inizio.
Arrivati a casa si dividono i soldi incassati: hanno tante banconote da 10 euro, e le dispongono sul tavolo. Poi ci sono alcune monete da 1 euro.
Si dividono allora le banconote in parti uguali. Ma avanza una banconota da 10 euro. “Me la prendo io”, dice il fratello maggiore. “Allora io mi prendo gli spiccioli” replica il minore.
Poco dopo però il minore si accorge di aver ricevuto meno soldi del fratello, e, alle sue proteste, riceve dal maggiore un coltellino, che aveva da prima. Così sono tutti contenti. Quanto vale il coltellino?
In pratica, se n è il numero dei polli, l’incasso totale sarà n2. Inoltre, dal testo si evince che il numero di banconote da 10 euro è dispari; data infine la lamentela del fratello minore, il numero di monete da 1 euro è inferiore a 10. Da queste premesse si può concludere che il valore delle decine dell’incasso totale è una cifra dispari.
Vediamo la tabella dei quadrati dei primi 40 numeri interi.
Abbiamo cerchiato tutti i numeri in cui la cifra delle decine è un numero dispari. Guardando attentamente si nota che in questi quadrati la cifra delle unità è sempre 6 (se qualcuno vuole scrivere una dimostrazione di questo fatto, saremo lieti di pubblicarla). L’incasso dei due fratelli sarà pertanto un numero di euro che termina per 6 e tante saranno le monete da 1 euro in tasca al fratello minore.
La differenza tra l’incasso del fratello maggiore e quello del fratello minore è 4 euro, pertanto il coltellino vale 2 euro (infatti, nel momento in cui il fratello maggiore se ne priva, il capitale che possiede scende di 2 euro; della medesima cifra aumenta il capitale del fratello, per cui la somma è 4).
