di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

La sera si trovarono tutti in piazza alle nove, più o meno in punto. Le ragazze arrivarono con qualche minuto di ritardo.

– E poi dicono che noi uomini abbiamo pregiudizi nei vostri confronti. – disse Andrea.
– Dai, che sono solo cinque minuti. – rispose Giulia.

Dario diplomaticamente disse:

– Salite in macchina, altrimenti non arriviamo più. Voi sapete dove andare?
– Certo! – rispose Andrea
– Qualcun altro sa dove dobbiamo andare? – disse sorridendo Dario
– Non ti fidi più di me? Al massimo chiediamo a qualcuno che incontriamo sulla strada, così da sfatare questo mito secondo cui gli uomini non vogliono mai chiedere informazioni.
– Io non ho mai detto niente, – intervenne Giulia – e poi siete voi quelli dei pregiudizi. Prima il bagno, ora il ritardo…
– C’è un bivio. Dove devo andare? – disse Dario – Il cartello è caduto.

I ragazzi si trovavano presso un bivio, ormai si era fatto buio. Sul lato della strada c’era un giovanotto che sembrava straniero, anch’egli con la sua macchina.

– Lui sicuramente saprà dove andare per la festa inaugurale. – disse Andrea
– Prova a chiederglielo. – rispose Dario
– Ora provo… Mi scusi, – il ragazzo si voltò e rimase in silenzio con un’espressione distaccata – saprebbe indicarmi la strada per la festa inaugurale dell’Università?

Il giovane rimase in silenzio e parve arrabbiato per il disturbo che i quattro studenti gli stavano creando.
Dall’altro lato della strada si sentì una voce:

– È svizzero.

A parlare era una persona piuttosto anziana, che sembrava essere apparso dal nulla.
Andrea si avvicinò al nuovo arrivato:

– Mi scusi, buon uomo, stiamo cercando una festa, non vediamo nessuno e a questo punto crediamo di esserci persi. Ci saprebbe indicare la strada per la cascina?
– Non so proprio aiutarvi, mi spiace. Sicuramente però lui potrà esservi di aiuto, solo che è svizzero.
– Quindi capisce e parla la nostra lingua, o per lo meno il francese, no?
– Nemmeno per sogno. Conosce solo lo svizzero.
– Ma che lingua è lo svizzero? In Svizzera parlano italiano, francese e tedesco. Non parlano lo svizzero.
– E invece questo parla lo svizzero, però capisce giustamente le tre lingue che hai appena elencato. Solo che non le parla.
– E come fa a rispondermi?
– Ti posso dire che “ra” e “ti” vogliono dire sì o no, ma non so quale dei due vuol dire sì e quale no.
– Be’, questo vuol dire che devo fargli una domanda la cui risposta sia sì o no, che per lui saranno ra e ti.
– Esatto, ma ricordati che non sai qual è il significato singolo dei due termini.
– Non è un problema, ho già in mente la domanda da fargli, sempre che lui capisca la mia lingua.
– Certo, la capisce alla perfezione.

Andrea si avvicinò al ragazzo svizzero quando il vecchio lo interruppe:

– Ah, dimenticavo. Gli svizzeri sono un popolo molto strano. Alcuni dicono sempre la verità, altri sempre il falso. Tieni conto di questo nella tua domanda.
– Ho capito, ma questo qui – indicando il giovane – è uno di quelli che mente sempre o uno di quelli che dice sempre la verità?
– Non ne ho la più pallida idea.
– Idea! Prima gli faccio una domanda per sapere questo, e poi quella per farmi dire qual è la strada giusta.
– Non credo che così funzioni. Gli svizzeri di solito si arrabbiano se devono rispondere a più di una domanda.
– Vuole dire che devo fargli una sola domanda?
– Già, una sola.
– Ma non so né se dice il vero o il falso, né cosa vogliono dire ra e ti. E tantomeno conosco la strada giusta.
– È un grosso problema, ma dovrai cavartela da solo, sempre che tu voglia andare alla festa.

Andrea si girò verso gli altri:

– Ragazzi, vogliamo proprio andare alla festa?
– Be’, possiamo optare per un gelato in centro… – disse Giulia.
– No, io voglio andare alla festa. E poi non vedete che è una sfida? Secondo me è una specie di test d’ingresso per poter andare alla festa! – interruppe Dario.

Anche Andrea era d’accordo:

– Hai ragione, Dario, e poi questi giochini da dilettanti non dovrebbero spaventarci. Mettiamoci di buona lena e pensiamo a questa maledetta domanda.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

Il tovagliolo recitava:
Sia n un numero con più di due cifre, posso scriverlo come [pmath]10a + b[/pmath], dove b è un numero minore di 10. Ad esempio se [pmath]n = 1341[/pmath], posso scriverlo [pmath]1341 = 134 * 10 + 1[/pmath], quindi [pmath]a = 134[/pmath] e [pmath]b = 1[/pmath].
Ora la regola dice che se [pmath]a – 2b[/pmath] è divisibile per 7, allora lo è anche n.
Scriviamo quindi [pmath]a – 2b = 7k[/pmath], dobbiamo far vedere che n può essere scritto come [pmath]n = 7h[/pmath] per qualche h intero.
Se [pmath]a – 2b = 7k[/pmath], allora [pmath]a = 7k + 2b[/pmath]. Sostituendolo in [pmath]n = 10a + b[/pmath] otteniamo

[pmath]n = 10 * (7k + 2b) + b = 70k + 21b = 7 * (10k + 3b)[/pmath]

come volevasi dimostrare.

– La vostra dimostrazione mi sembra buona. – disse Chiara
– Lo credo bene – rispose Dario
Intervenne Andrea nella discussione:
– Ragazzi, mi sembra che stiamo scadendo un po’. Programmi per oggi pomeriggio?
– Lezioni non ne abbiamo.
– Mi hanno detto che c’è una specie di festa inaugurale poco fuori città per tutti gli studenti iscritti al primo anno.
– Sì, ma sarà questa sera.
– Alle 22.
– Beh, allora possiamo vederci magari più tardi, così abbiamo anche il tempo di mettere a posto le cose nelle nostre rispettive abitazioni.
– E di prepararci – intervenne Giulia
– Ben detto, Giulia! – disse Chiara
– Ho capito, Ci vediamo stasera, facciamo verso le nove? Andiamo con la mia macchina. – disse il motorizzato Dario
– Ma dove è questa festa? – chiese Giulia
– Credo che sia un una cascina poco fuori città.
– Ok, ci vediamo stasera alle nove in piazza, ok?
– Va bene, a dopo.

Per permettere alla storia di passare tutto il pomeriggio, ecco la dimostrazione del problema di cui si è parlato prima. Per cercare i divisori di un numero basta controllare tutti i numeri primi minori o uguali alla radice del numero stesso.

In realtà la risposta è molto semplice. Sia n il numero di cui si vogliono calcolare i fattori primi. Ovviamente non consideriamo n come divisore, in quanto banale.
Nel caso in cui il numero non abbia divisori la regola banalmente funziona: se non ne troviamo prima della radice di n, allora concludiamo che non ce ne sono, il che è vero per ipotesi.
Ipotizziamo invece che il numero abbia un divisore. Se esso si trova prima della radice di n, lo troviamo; quindi possiamo tranquillamente supporre che sia maggiore della radice di n.
Detto k tale divisore, esisterà un numero h tale che [pmath]hk = n[/pmath], per definizione di divisore. Ricordiamo che per quanto detto sopra, sicuramente [pmath]k < n[/pmath]. Sia ora m il numero (reale e positivo) tale che [pmath]m^2 = n[/pmath]. Allora [pmath]hk = m^2[/pmath]. Ma [pmath]k > m[/pmath], quindi [pmath]m^2 = hk > hm[/pmath], da cui si deduce, semplificando per m, che [pmath]m > h[/pmath], ovvero: se esiste un divisore k maggiore della radice di n, allora ne esisterà anche un altro h minore della radice di n. Una volta trovato h, è sufficiente fare [pmath]n / h[/pmath] per trovare l’altro divisore i.
Quindi, una volta trovati tutti i divisori minori della radice di n, abbiamo anche automaticamente trovato tutti quelli maggiori.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

– Il problema, in questi casi, è di riuscire a modellizzarlo bene, ovverosia trasformare le informazioni in nostro possesso in “matematichese”, per poter risolvere il quesito applicando le regole che ci sono state insegnate dalla matematica.
– Beh, abbiamo due numeri la cui differenza è 11.111. Possiamo chiamarli x e y.
– Giusto, quindi [pmath]x – y = 11.111[/pmath].
– Ed inoltre sono quadrati perfetti.
– Come si traduce questo in matematichese?
– Be’, se intendiamo x e y come le radici dei numeri che cerchiamo, forse siamo facilitati nel risolvere il problema.

Andrea e Dario ascoltavano assorti (e anche un po’ divertiti).

– Quindi [pmath]x^2 – y^2 = 11.111[/pmath].
– E ora?
– Beh, possiamo scrivere [pmath](x + y)(x – y) = 11.111[/pmath].
– Caspita, non ci avevo proprio pensato. Ora basta scomporre in fattori primi 11.111 e il gioco è fatto, no? Tanto la scomposizione in fattori primi è unica, quindi non dovremmo avere problemi.
– Sì, sperando che 11.111 abbia solo due divisori primi.
– Perché?
– Altrimenti ci saranno più combinazioni di x e y. Se invece la scomposizione è unica, lo è anche la soluzione.
– Beh, dovrebbero essercene comunque due.
– Sì, ma una sarebbe negativa.
– Ah, sì, è vero. Beh, scomponiamo 11.111. Non è divisibile per 3, 5, 7…
– Come fai a sapere che non è divisibile per 7?
– Non conosci la regolina? Togli l’ultima cifra dal numero, in questo caso il numero 1. Poi lo raddoppi, e viene 2. Poi lo sottrai dal numero che ti è rimasto prima, ovvero 1.111. In questo caso 1.111 – 2 viene 1.109. Se questo è divisibile per 7 lo è anche l’altro, e viceversa.
– Sì, ma siamo al punto di partenza.
– Beh, possiamo iterare il metodo e applicarlo di nuovo con 1.109.
– Giusto, quindi tolgo il 9, lo raddoppio ottenendo 18 e lo sottraggo a 110. Viene 92.
– Giusto, ora prendi il 2, lo raddoppi ottenendo 4 e lo sottrai al 9. 9 – 4 fa 5, che non è divisibile per 7.
– Aspetta, non ci credo. Prendo 49, che so essere divisibile per 7. Voglio provare ad applicare la tua regolina. Raddoppio il 9 e viene 18. Ora faccio 4 – 18… ma viene un numero negativo.
– Che ti importa? Viene comunque -14 che è un multiplo di 7, anche se negativo.
– Caspita, ma è difficile da dimostrare?
– Non credo, ma al massimo lo facciamo fare ai saputelli qui a fianco…
– Giusto. Ora torniamo al nostro problema. Non è quindi divisibile per 3, 5, 7, nemmeno per 11, direi.
– No, infatti.

Nel frattempo anche Andrea e Dario si erano messi a scribacchiare su un tovagliolo.
Chiara riprese:

– Proviamo a vedere per 13.
– Il 13 nel 111… non mi pare.
– No, infatti. 17 nemmeno e neanche 19.
– Meglio, almeno aumentano le probabilità che la scomposizione sia unica.
– Nemmeno 23 e 27.
– Guarda che 27 è 9 per 3.
– Ah, già, non è primo.
– 29, 31, 37. Nemmeno loro vanno bene.
– Ma fino a dove dobbiamo arrivare? Fino a 11.111?
– No credo che basti la metà.

A questo punto intervenne Andrea:

– Vi dò uno sgamo: è sufficiente arrivare fino alla radice quadrata del numero, quindi nel vostro caso dovreste cavarvela smettendo intorno a 102 o 103… E ringraziate che non vi faccio dimostrare anche questo!
– Ok, stai tranquillo… Dove eravamo rimasti, Chiara?
– Al 37. Ora c’è il 41.
– Funziona! Il 41 va bene. 11.111 diviso 41 fa 271.
– Perfetto! Ora bisogna scomporre 271.
– E dobbiamo arrivare solamente fino alla radice di 271, quindi prima di 20.
– Sì, indicativamente sì.
– Beh, 3, 5, 7, 11 non vanno bene.
– Nemmeno 13, 17 e 19.
– Sì, è vero, quindi è primo! – urlò Giulia, non nascondendo soddisfazione.
– Quindi [pmath]x + y = 271[/pmath] e [pmath]x – y = 41[/pmath]. Ci siamo.
– Già, ora risolviamo il sistema.

Chiara e Giulia iniziarono a fare calcoli.

– Ecco! x è 156 e y è 115.
– Infatti se facciamo i quadrati vengono rispettivamente 13.225 e 24.336, la cui differenza è 11.111.

Andrea rispose con sufficienza:

– Va bene, ve la siete cavata. Questa invece è la nostra dimostrazione del vostro giochino sul 7.
– Date qua – e Chiara strappò di mano ad Andrea il tovagliolo.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

– Allora, si può sapere cosa era questa storia del contachilometri? L’unica cosa che ho capito è che abbiamo fatto 11.111 metri inutilmente! – iniziò Chiara azzannando una fetta di pane.
– Ti spiego. – continuò Dario – Mentre le signorine erano in bagno – e su quel “signorine” le signorine fecero un’espressione di disaccordo – Andrea notava che le ultime cinque cifre del contachilometri formavano un quadrato perfetto, ovverosia – disse con fare altezzoso – la cui radice quadrata è un numero intero.
– Grazie per la spiegazione finale – aggiunse Chiara.
– Quando ci siamo fermati qui davanti Andrea notava che le ultime cifre del contachilometri, che poi in realtà è un conta-metri, erano di nuovo un quadrato perfetto. Tutto lì, Andrea ed io ci eravamo solo stupiti della coincidenza.
– E quali erano questi numeri? – intervenne Giulia
– Vorreste saperlo, eh? – continuò Dario
– Vi piacerebbe, eh? – aggiunse Andrea
– Beh, facciamo matematica, possiamo benissimo calcolarlo!
– Certo, Giulia. O meglio: forse, Giulia. Io e Andrea non vorremmo mai sopravvalutarvi…
– È una sfida? – così dicendo Giulia prese un tovagliolo e una biro e iniziò a fare i conti.
– Ma sono numeri interi, è un casino. – disse Chiara
– È una questione di principio, Chiara.

Nel frattempo Dario ed Andrea si stavano godendo la scena.

– Va bene, Giulia, che dati abbiamo?
– Due numeri di cinque cifre, entrambi quadrati perfetti, la cui differenza è 11.111.
– Non mi sembra molto.
– Però dovrebbe bastarci.

A quel punto intervenne Dario:

– Problemi a modellizzare il problema?
– Tutto è un problema – aggiunse Andrea
– Tutto è numero, come direbbe Pitagora.
– Già, Dario, quindi il problema è un numero?

Andrea e Dario scoppiarono a ridere, Chiara e Giulia no.

– Molto divertente. – disse Giulia in una finta risata
– Mia sorella fuma, la ciminiera fuma, quindi mia sorella è una ciminiera? Non è un discorso valido.

Andrea e Dario continuarono a ridere, Dario disse:

– Hai una sorella ciminiera?
– Beh, in effetti se fuma tanto il discorso regge. – aggiunse Andrea

E continuarono a ridere.
Chiara a Giulia:

– Questa però te la sei cercata!
– Non hai tutti i torti – rispose Giulia
– Credo che ormai dobbiamo risolvere il problema. Avevi ragione sulla “questione di principio”.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

Ritornato in aula, Andrea riprese il suo posto a fianco a Giulia e le raccontò l’accaduto.

– Dici davvero? Complimenti, gliel’hai proprio fatta vedere a quei tipi. – disse lei.
– Non erano poi così cattivi come sembravano, solamente un po’ orgogliosi. Comunque sono sicuro che Luca è un figo, secondo me è molto bravo.
– Di certo è così. Io invece ho conosciuto un po’ di nostri compagni di facoltà. Lui è Dario – disse indicando un ragazzo due file dietro di lei – mentre lei è Chiara. – continuò indicando la vicina.

Andrea si voltò verso di loro e con un gesto simile ad un saluto si presentò. I due risposero con lo stesso gesto.

– Ma mi conoscono già? – chiese Andrea.
– Ho parlato loro di te, visto che eri l’unica persona che fino ad ora avevo conosciuto.

Il docente nel frattempo stava entrando in aula.

– Sta arrivando il professore. Cerchiamo di non farci di nuovo riprendere. – concluse Andrea.
– Buongiorno, – esordì – io sono il vostro professore di geometria. Scusatemi per il ritardo, ma avevo un esame.

Si sentì un brusio dalla platea.

– Ovviamente dovevo far fare un esame ad un ragazzo, non lo dovevo fare io, l’esame! Ma proseguiamo…

L’ora finì in un baleno, il professore salutò e Giulia portò Andrea a conoscere Dario e Chiara.

– Ciao a tutti – esordì Andrea.
– Ciao – rispose Dario, e così fece anche Chiara.
– Voi avete programmi per il pranzo? – disse Giulia, forse per rompere il ghiaccio.
– Assolutamente no. – rispose Andrea.
– Beh, potremmo andare a mangiare qualcosa tutti insieme alla mensa, no?
– Certo, Giulia. – rispose Chiara.
– Possiamo andare con la mia macchina, se volete. – propose Dario.
– Per me va bene – disse Andrea.

Andrea e Dario si recarono nel parcheggio di fronte al dipartimento ed entrarono in auto.

– Che curioso, – disse Andrea – hai un contachilometri che misura anche i metri?
– Sì, non è molto preciso – disse Dario – ce l’hanno messo solo per bellezza.
– Immagino… tra l’altro, se noti, le ultime cinque cifre del numero sono un quadrato perfetto.
– È vero, ma come hai fatto ad arrivarci così in fretta?
– Questione di abitudine. Ma dove saranno finite le altre due.
– In bagno. Sai come sono fatte le donne…
– Già, le amiche si vedono nel momento del bisogno, no?
– Eh, eh. Eccole che arrivano.

Appena si furono avvicinate Andrea urlò:

– Le donne dietro!
– E ti pareva? – rispose Chiara
– Ultime arrivate, male accontentate.
– Andiamo, dai. – concluse Giulia.
– Dove andiamo? – chiese Dario.
– Ti porto io. – rispose Andrea.

La macchina si mosse e in 10 minuti furono a destinazione.

– Ma non c’era una strada più breve? – chiese Dario
– Scusa, mi sono sbagliato… sono anche io nuovo di qui. Va be’, dai, abbiamo fatto un giro della città, no? – rispose Andrea
– Sì, ma mi hai fatto fare 10 chilometri per niente.
– Dieci chilometri? – buttò l’occhio sul contachilometri.
– Anzi, per la precisione 11.111 metri!
– Beh, dai, è una coincidenza piacevole, no?
– Sì, per questa chicca ti perdono l’errore – e sorrise.
– Guarda meglio, – intervenne nuovamente Andrea – le ultime cinque cifre, che poi sono le uniche ad essere cambiate, sono di nuovo un quadrato perfetto!
– Ehi, hai ragione!
– Noi dietro abbiamo fame, senza che stiate tanto a confabulare. Si può sapere di cosa state parlando? – intervenne Chiara
– Appena fuori dalla macchina vi spieghiamo tutto.
I quattro scesero dall’automobile e si diressero verso l’ingresso della mensa.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

Andrea iniziò a scrivere sulla carta, descrivendo a voce i passaggi:

– Devo trovare un numero di cinque cifre, diciamo x, tale che [pmath]400.000 + x = 4(10x + 4)[/pmath].
– Mi sembra ottimo – rispose Luca.
– Ora raggruppo e ottengo 39x = 399.984. Divido 399.984 per 39: la risposta esatta è 10.256.
– Sei sicuro? – gli disse Luca.
– Basta provare… se aggiungo un 4 davanti al numero ottengo 410.256. Lo divido per quattro e viene 102.564, cioè il numero di partenza con il 4 in fondo.
– Bene, ora ti manca solo il quesito di teoria dei numeri.
– Mi sembra ancora più semplice. – rispose Andrea, conscio del fatto che aveva già la soluzione. Poi continuò:
– Basta scomporre [pmath]p^2 – 1 = (p + 1)(p – 1)[/pmath]. Ora ho a che fare con p, con il numero che lo precede e con quello che lo segue. Siccome p è primo, allora p + 1 e p – 1 sono divisibili per 2 e in particolare uno dei due è divisibile per 4. Quindi il prodotto di essi sarà divisibile per 8. Inoltre p – 1, p + 1 e p sono tre numeri consecutivi, quindi uno di loro è divisibile per 3. p è primo, quindi tale numero sarà uno degli altri due. In conclusione, il numero [pmath]p^2 – 1[/pmath] è divisibile per 24.
– Complimenti! Ottimo ragionamento!

Andrea tirò un sospiro di sollievo, guardò l’orologio e si affrettò a concludere:

– Scusatemi, ma devo proprio andare a lezione, ora… – lo interruppe Andrea.
– No problem, ci vediamo presto, se bazzichi spesso da queste parti.
– Certo! Sarò qui più o meno tutti i giorni, devo andare a lezione.
– Ciao.