Ecco la soluzione del problema dell’esagono speciale, che era stato pubblicato qui.
Un esagono speciale – La soluzione di Giorgio Dendi
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Soluzioni e spiegazioni della Finale italiana dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici – 19.5.2012
Dopo testi e soluzioni pubblicate qualche ora fa, ecco il contributo di Simone Di Marino, campione internazionale 2011 in GP (terzo oro italiano negli ultimi quattro anni in questa categoria).
Soluzioni:
1) 3
2) 1200
3) 12
4) 29/09/2089
5) —
6) 1234-5-6+789
7) 8
8} —
9) 1831
10) —
11) 4
12) 481,518,592,629
13) 11/20
14) 8.5
15) 35
16) 144
17) a=6 b=19 c=30
18) 17
19) 2023066
20) (una delle soluzioni)
1246
4513
3562
Ed ecco le spiegazioni degli esercizi più interessanti:
Le spiegazioni di Simone Di Marino – finale italiana 2012
P.S. Il programma del Festival di Giochi Matematici (Caldè, 26-29 luglio 2012) sarà presto su questo sito.
Il ciondolo di Mara – soluzione
Riproponiamo innanzi tutto il testo del problema:
Simone compra per Mara un ciondolo perfettamente sferico. Mara nota subito che per poter far passare il filo che tiene il ciondolo, la sfera è stata forata al centro con un foro cilindrico che lo attraversa da parte a parte.
Sapendo che il foro è cilindrico e lungo 12 mm, calcolare il volume del ciondolo.
Chi avrà provato a cimentarsi nel problema, avrà immediatamente notato la mancanza del raggio tra i dati. In effetti, provando a dimostrare il problema, a un certo punto il raggio si semplifica ovunque, il che significa che la soluzione è generale e dipende solamente dall’altezza del foro e non dal raggio della sfera.
Sapendo quindi questa particolarità del problema, la soluzione diventa immediata, perché possiamo portare al limite l’altezza [pmath]h right 2r[/pmath]. Pertanto il volume del ciondolo equivale a quello della sfera. Eseguendo i calcoli, si ottiene
[pmath]V = 4/3 pi r^3 = 4/3 pi (h/2)^3 = 1/6 pi h^3[/pmath]
che è la soluzione cercata (nel caso particolare, [pmath]288 pi[/pmath] mm).
Altre soluzioni possibili, che non sfruttano l’informazione che la soluzione non dipende dal raggio, sono:
- Geometria. Calcolare il volume della sfera, poi sottrarre il volume del cilindro e quello delle due calotte sferiche.
- Analisi. Si consideri il ciondolo con il foro orizzontale e la si tagli verticalmente a metà; si ponga un riferimento cartesiano con l’origine al centro della sfera. Dopo di che si consideri una sottile fetta verticale, a forma di ciambella: il suo volume è il prodotto dello spessore dx per l’area della “ciambella” (cioè l’area del cerchio di raggio esterno meno l’area del cerchio interno). Infine si integri il tutto da 0 ad h/2, scoprendo che tutte le incognite si semplificano. (grazie a VincenzoV)
- Analisi. Si consideri il quarto di sfera nel primo quadrante e una retta orizzontale. Poi si integri con la formula del volume di un solido di rotazione.
In tutti e tre i casi, a un certo punto si semplificherà il raggio e rimarrà l’unica incognita dell’altezza.
Il coltellino – soluzione
Come promesso, ecco la soluzione del problema del coltellino.
Riproponiamo innanzi tutto il testo del problema.
Due fratelli portano dei polli al mercato, e li vendono tutti al prezzo unitario uguale al numero dei polli che avevano all’inizio.
Arrivati a casa si dividono i soldi incassati: hanno tante banconote da 10 euro, e le dispongono sul tavolo. Poi ci sono alcune monete da 1 euro.
Si dividono allora le banconote in parti uguali. Ma avanza una banconota da 10 euro. “Me la prendo io”, dice il fratello maggiore. “Allora io mi prendo gli spiccioli” replica il minore.
Poco dopo però il minore si accorge di aver ricevuto meno soldi del fratello, e, alle sue proteste, riceve dal maggiore un coltellino, che aveva da prima. Così sono tutti contenti. Quanto vale il coltellino?
In pratica, se n è il numero dei polli, l’incasso totale sarà n2. Inoltre, dal testo si evince che il numero di banconote da 10 euro è dispari; data infine la lamentela del fratello minore, il numero di monete da 1 euro è inferiore a 10. Da queste premesse si può concludere che il valore delle decine dell’incasso totale è una cifra dispari.
Vediamo la tabella dei quadrati dei primi 40 numeri interi.
Abbiamo cerchiato tutti i numeri in cui la cifra delle decine è un numero dispari. Guardando attentamente si nota che in questi quadrati la cifra delle unità è sempre 6 (se qualcuno vuole scrivere una dimostrazione di questo fatto, saremo lieti di pubblicarla). L’incasso dei due fratelli sarà pertanto un numero di euro che termina per 6 e tante saranno le monete da 1 euro in tasca al fratello minore.
La differenza tra l’incasso del fratello maggiore e quello del fratello minore è 4 euro, pertanto il coltellino vale 2 euro (infatti, nel momento in cui il fratello maggiore se ne priva, il capitale che possiede scende di 2 euro; della medesima cifra aumenta il capitale del fratello, per cui la somma è 4).