di Alessio Palmero Aprosio
Continua il racconto matematico in n puntate.
– Il problema, in questi casi, è di riuscire a modellizzarlo bene, ovverosia trasformare le informazioni in nostro possesso in “matematichese”, per poter risolvere il quesito applicando le regole che ci sono state insegnate dalla matematica.
– Beh, abbiamo due numeri la cui differenza è 11.111. Possiamo chiamarli x e y.
– Giusto, quindi [pmath]x – y = 11.111[/pmath].
– Ed inoltre sono quadrati perfetti.
– Come si traduce questo in matematichese?
– Be’, se intendiamo x e y come le radici dei numeri che cerchiamo, forse siamo facilitati nel risolvere il problema.
Andrea e Dario ascoltavano assorti (e anche un po’ divertiti).
– Quindi [pmath]x^2 – y^2 = 11.111[/pmath].
– E ora?
– Beh, possiamo scrivere [pmath](x + y)(x – y) = 11.111[/pmath].
– Caspita, non ci avevo proprio pensato. Ora basta scomporre in fattori primi 11.111 e il gioco è fatto, no? Tanto la scomposizione in fattori primi è unica, quindi non dovremmo avere problemi.
– Sì, sperando che 11.111 abbia solo due divisori primi.
– Perché?
– Altrimenti ci saranno più combinazioni di x e y. Se invece la scomposizione è unica, lo è anche la soluzione.
– Beh, dovrebbero essercene comunque due.
– Sì, ma una sarebbe negativa.
– Ah, sì, è vero. Beh, scomponiamo 11.111. Non è divisibile per 3, 5, 7…
– Come fai a sapere che non è divisibile per 7?
– Non conosci la regolina? Togli l’ultima cifra dal numero, in questo caso il numero 1. Poi lo raddoppi, e viene 2. Poi lo sottrai dal numero che ti è rimasto prima, ovvero 1.111. In questo caso 1.111 – 2 viene 1.109. Se questo è divisibile per 7 lo è anche l’altro, e viceversa.
– Sì, ma siamo al punto di partenza.
– Beh, possiamo iterare il metodo e applicarlo di nuovo con 1.109.
– Giusto, quindi tolgo il 9, lo raddoppio ottenendo 18 e lo sottraggo a 110. Viene 92.
– Giusto, ora prendi il 2, lo raddoppi ottenendo 4 e lo sottrai al 9. 9 – 4 fa 5, che non è divisibile per 7.
– Aspetta, non ci credo. Prendo 49, che so essere divisibile per 7. Voglio provare ad applicare la tua regolina. Raddoppio il 9 e viene 18. Ora faccio 4 – 18… ma viene un numero negativo.
– Che ti importa? Viene comunque -14 che è un multiplo di 7, anche se negativo.
– Caspita, ma è difficile da dimostrare?
– Non credo, ma al massimo lo facciamo fare ai saputelli qui a fianco…
– Giusto. Ora torniamo al nostro problema. Non è quindi divisibile per 3, 5, 7, nemmeno per 11, direi.
– No, infatti.
Nel frattempo anche Andrea e Dario si erano messi a scribacchiare su un tovagliolo.
Chiara riprese:
– Proviamo a vedere per 13.
– Il 13 nel 111… non mi pare.
– No, infatti. 17 nemmeno e neanche 19.
– Meglio, almeno aumentano le probabilità che la scomposizione sia unica.
– Nemmeno 23 e 27.
– Guarda che 27 è 9 per 3.
– Ah, già, non è primo.
– 29, 31, 37. Nemmeno loro vanno bene.
– Ma fino a dove dobbiamo arrivare? Fino a 11.111?
– No credo che basti la metà.
A questo punto intervenne Andrea:
– Vi dò uno sgamo: è sufficiente arrivare fino alla radice quadrata del numero, quindi nel vostro caso dovreste cavarvela smettendo intorno a 102 o 103… E ringraziate che non vi faccio dimostrare anche questo!
– Ok, stai tranquillo… Dove eravamo rimasti, Chiara?
– Al 37. Ora c’è il 41.
– Funziona! Il 41 va bene. 11.111 diviso 41 fa 271.
– Perfetto! Ora bisogna scomporre 271.
– E dobbiamo arrivare solamente fino alla radice di 271, quindi prima di 20.
– Sì, indicativamente sì.
– Beh, 3, 5, 7, 11 non vanno bene.
– Nemmeno 13, 17 e 19.
– Sì, è vero, quindi è primo! – urlò Giulia, non nascondendo soddisfazione.
– Quindi [pmath]x + y = 271[/pmath] e [pmath]x – y = 41[/pmath]. Ci siamo.
– Già, ora risolviamo il sistema.
Chiara e Giulia iniziarono a fare calcoli.
– Ecco! x è 156 e y è 115.
– Infatti se facciamo i quadrati vengono rispettivamente 13.225 e 24.336, la cui differenza è 11.111.
Andrea rispose con sufficienza:
– Va bene, ve la siete cavata. Questa invece è la nostra dimostrazione del vostro giochino sul 7.
– Date qua – e Chiara strappò di mano ad Andrea il tovagliolo.