di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

Il tovagliolo recitava:
Sia n un numero con più di due cifre, posso scriverlo come [pmath]10a + b[/pmath], dove b è un numero minore di 10. Ad esempio se [pmath]n = 1341[/pmath], posso scriverlo [pmath]1341 = 134 * 10 + 1[/pmath], quindi [pmath]a = 134[/pmath] e [pmath]b = 1[/pmath].
Ora la regola dice che se [pmath]a – 2b[/pmath] è divisibile per 7, allora lo è anche n.
Scriviamo quindi [pmath]a – 2b = 7k[/pmath], dobbiamo far vedere che n può essere scritto come [pmath]n = 7h[/pmath] per qualche h intero.
Se [pmath]a – 2b = 7k[/pmath], allora [pmath]a = 7k + 2b[/pmath]. Sostituendolo in [pmath]n = 10a + b[/pmath] otteniamo

[pmath]n = 10 * (7k + 2b) + b = 70k + 21b = 7 * (10k + 3b)[/pmath]

come volevasi dimostrare.

– La vostra dimostrazione mi sembra buona. – disse Chiara
– Lo credo bene – rispose Dario
Intervenne Andrea nella discussione:
– Ragazzi, mi sembra che stiamo scadendo un po’. Programmi per oggi pomeriggio?
– Lezioni non ne abbiamo.
– Mi hanno detto che c’è una specie di festa inaugurale poco fuori città per tutti gli studenti iscritti al primo anno.
– Sì, ma sarà questa sera.
– Alle 22.
– Beh, allora possiamo vederci magari più tardi, così abbiamo anche il tempo di mettere a posto le cose nelle nostre rispettive abitazioni.
– E di prepararci – intervenne Giulia
– Ben detto, Giulia! – disse Chiara
– Ho capito, Ci vediamo stasera, facciamo verso le nove? Andiamo con la mia macchina. – disse il motorizzato Dario
– Ma dove è questa festa? – chiese Giulia
– Credo che sia un una cascina poco fuori città.
– Ok, ci vediamo stasera alle nove in piazza, ok?
– Va bene, a dopo.

Per permettere alla storia di passare tutto il pomeriggio, ecco la dimostrazione del problema di cui si è parlato prima. Per cercare i divisori di un numero basta controllare tutti i numeri primi minori o uguali alla radice del numero stesso.

In realtà la risposta è molto semplice. Sia n il numero di cui si vogliono calcolare i fattori primi. Ovviamente non consideriamo n come divisore, in quanto banale.
Nel caso in cui il numero non abbia divisori la regola banalmente funziona: se non ne troviamo prima della radice di n, allora concludiamo che non ce ne sono, il che è vero per ipotesi.
Ipotizziamo invece che il numero abbia un divisore. Se esso si trova prima della radice di n, lo troviamo; quindi possiamo tranquillamente supporre che sia maggiore della radice di n.
Detto k tale divisore, esisterà un numero h tale che [pmath]hk = n[/pmath], per definizione di divisore. Ricordiamo che per quanto detto sopra, sicuramente [pmath]k < n[/pmath]. Sia ora m il numero (reale e positivo) tale che [pmath]m^2 = n[/pmath]. Allora [pmath]hk = m^2[/pmath]. Ma [pmath]k > m[/pmath], quindi [pmath]m^2 = hk > hm[/pmath], da cui si deduce, semplificando per m, che [pmath]m > h[/pmath], ovvero: se esiste un divisore k maggiore della radice di n, allora ne esisterà anche un altro h minore della radice di n. Una volta trovato h, è sufficiente fare [pmath]n / h[/pmath] per trovare l’altro divisore i.
Quindi, una volta trovati tutti i divisori minori della radice di n, abbiamo anche automaticamente trovato tutti quelli maggiori.