Ecco un problema della finale italiana 2010. La soluzione sarà pubblicata prossimamente.
Caldé
Tutto è numero
Festival di giochi e cultura matematica
La somma delle cifre è 45, quindi N è divisibile per 9. Inoltre l’ultima cifra di una sesta potenza può essere solo 0,1,4,5,6,9. In questo caso posso prendere solo 0,4,9 (gli altri non ce li ho). 0 lo devo escludere altrimenti avrei 6 zeri, quindi posso prendere solo 4 e 9. Le seste potenze che finiscono per 4 o 9 sono solo di quei numeri che finiscono per 2,3,7,8. I multipli di 9 più piccoli che finiscono così sono 18,27,63,72. Osservo che 18^6 è minore di 20^6 che è 64000000 (ha 8 cifre e non 9). Invece 27^6 può andare bene, 63^6 è troppo grande, infatti è maggiore di 50^6=15625000000 che ha 11 cifre, troppe. Quindi N=27. La calcolatrice conferma!
La somma delle cifre è 45, quindi N è divisibile per 3 ma non necessariamente per 9 (basti pensare che 3^6=729, che è divisibile per 9 ma 3 non lo è). 21^3=9261, quindi 21^621. 33^2=1089, quindi 33^2>1000000000 (1000^2=1000000000), quindi N<33. N non è 30 perchè si avrebbero 6 zeri alla fine. Non è neanche 24 perchè tutte le potenze dalla seconda in poi dei numeri che finiscono con 4 finiscono con 6, cifra assente nel risultato. Dunque l'unica possibilità rimasta è 27, infatti con N=27 27^6=387420489, numero composto dalle cifre assegnate.
Rettifico: le potenze pari dei numeri che finiscono con 4 finiscono con 6, quindi N non è 24.
Si, mi ero sbagliato… comunque già con la restrizione sulle cifre alla fine bastava provare 18, 27, 33…
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