Tutti i martedì proponiamo un gioco matematico. Potete provare a risolverlo e lasciare un commento con il risultato. Il martedì successivo verrà pubblicata la soluzione.
Come tutti gli appassionati di matematica sanno bene, esiste un mondo in cui la popolazione si divide in cavalieri e furfanti. I cavalieri dicono sempre la verità, i furfanti mentono sempre.
Durante un evento matematico tenutosi proprio lì, sono stati riuniti 2.000 congressisti. Ciascuno di loro ha una e una sola specializzazione tra algebra, geometria e probabilità. A ciascuno di essi si pongono tre domande, in sequenza: “Lei si occupa di algebra?”, “Lei si occupa di geometria?”, “Lei si occupa di probabilità?”.
Le risposte affermative alle tre domande sono state, rispettivamente, 100, 540 e 1.610.
Quante persone hanno mentito?
Il gioco di martedì scorso
Trovare tutti i numeri interi che, aumentati della somma delle loro cifre, danno come risultato 2002.
Soluzione. Gli unici due numeri che soddisfano a questo criterio sono 2000 e 1982. Una volta escluso 2001 e trovato 2000, si scopre facilmente che la somma massima per le cifre di un numero di quattro cifre inferiore a 2000 è 28 (1 + 9 + 9 + 9), quindi basta controllare a ritroso i numeri da 1999 a 1974. Si trova così velocemente l’unico altro numero con la caratteristica richiesta.
Siano x e y il numero, rispettivamente, di cavalieri e furfanti.
Sappiamo che ogni cavaliere dà una risposta affermativa e due negative, mentre ogni furfante dà due risposte affermative e una negativa.
Da ciò, abbiamo il sistema
x+y=2000
x+2y=100+540+1610=2250
Quindi si ricava che vi sono 250 furfanti e 1750 cavalieri
Poniamo che a b c siano il numero di algebristi, geometri e combinatorici cavalieri, mentre a’ b’ c’ sono il numero degli stessi, ma furfanti. Abbiamo che
a+b’+c’=100
a’+b+c’=540
a’+b’+c=1610
a’+b’+c’=250
Questo sistema ha 6 incognite, e solo 4 equazioni, quindi è indeterminato. Non è possibile, dunque, sapere quanti sono gli specializzati in ogni singola materia, nè quanti sono i furfanti o i cavalieri per ogni materia.
Un esempio di ciò è il seguente:
a=100 a’=250 b=290 b’=0 c=1360 c’=0
a=0 a’=150 b=300 b’=10 c=1450 c’=90
Entrambe le configurazioni sono possibili, poichè soddisfano tutte le ipotesi del problema