di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

La sera si trovarono tutti in piazza alle nove, più o meno in punto. Le ragazze arrivarono con qualche minuto di ritardo.

– E poi dicono che noi uomini abbiamo pregiudizi nei vostri confronti. – disse Andrea.
– Dai, che sono solo cinque minuti. – rispose Giulia.

Dario diplomaticamente disse:

– Salite in macchina, altrimenti non arriviamo più. Voi sapete dove andare?
– Certo! – rispose Andrea
– Qualcun altro sa dove dobbiamo andare? – disse sorridendo Dario
– Non ti fidi più di me? Al massimo chiediamo a qualcuno che incontriamo sulla strada, così da sfatare questo mito secondo cui gli uomini non vogliono mai chiedere informazioni.
– Io non ho mai detto niente, – intervenne Giulia – e poi siete voi quelli dei pregiudizi. Prima il bagno, ora il ritardo…
– C’è un bivio. Dove devo andare? – disse Dario – Il cartello è caduto.

I ragazzi si trovavano presso un bivio, ormai si era fatto buio. Sul lato della strada c’era un giovanotto che sembrava straniero, anch’egli con la sua macchina.

– Lui sicuramente saprà dove andare per la festa inaugurale. – disse Andrea
– Prova a chiederglielo. – rispose Dario
– Ora provo… Mi scusi, – il ragazzo si voltò e rimase in silenzio con un’espressione distaccata – saprebbe indicarmi la strada per la festa inaugurale dell’Università?

Il giovane rimase in silenzio e parve arrabbiato per il disturbo che i quattro studenti gli stavano creando.
Dall’altro lato della strada si sentì una voce:

– È svizzero.

A parlare era una persona piuttosto anziana, che sembrava essere apparso dal nulla.
Andrea si avvicinò al nuovo arrivato:

– Mi scusi, buon uomo, stiamo cercando una festa, non vediamo nessuno e a questo punto crediamo di esserci persi. Ci saprebbe indicare la strada per la cascina?
– Non so proprio aiutarvi, mi spiace. Sicuramente però lui potrà esservi di aiuto, solo che è svizzero.
– Quindi capisce e parla la nostra lingua, o per lo meno il francese, no?
– Nemmeno per sogno. Conosce solo lo svizzero.
– Ma che lingua è lo svizzero? In Svizzera parlano italiano, francese e tedesco. Non parlano lo svizzero.
– E invece questo parla lo svizzero, però capisce giustamente le tre lingue che hai appena elencato. Solo che non le parla.
– E come fa a rispondermi?
– Ti posso dire che “ra” e “ti” vogliono dire sì o no, ma non so quale dei due vuol dire sì e quale no.
– Be’, questo vuol dire che devo fargli una domanda la cui risposta sia sì o no, che per lui saranno ra e ti.
– Esatto, ma ricordati che non sai qual è il significato singolo dei due termini.
– Non è un problema, ho già in mente la domanda da fargli, sempre che lui capisca la mia lingua.
– Certo, la capisce alla perfezione.

Andrea si avvicinò al ragazzo svizzero quando il vecchio lo interruppe:

– Ah, dimenticavo. Gli svizzeri sono un popolo molto strano. Alcuni dicono sempre la verità, altri sempre il falso. Tieni conto di questo nella tua domanda.
– Ho capito, ma questo qui – indicando il giovane – è uno di quelli che mente sempre o uno di quelli che dice sempre la verità?
– Non ne ho la più pallida idea.
– Idea! Prima gli faccio una domanda per sapere questo, e poi quella per farmi dire qual è la strada giusta.
– Non credo che così funzioni. Gli svizzeri di solito si arrabbiano se devono rispondere a più di una domanda.
– Vuole dire che devo fargli una sola domanda?
– Già, una sola.
– Ma non so né se dice il vero o il falso, né cosa vogliono dire ra e ti. E tantomeno conosco la strada giusta.
– È un grosso problema, ma dovrai cavartela da solo, sempre che tu voglia andare alla festa.

Andrea si girò verso gli altri:

– Ragazzi, vogliamo proprio andare alla festa?
– Be’, possiamo optare per un gelato in centro… – disse Giulia.
– No, io voglio andare alla festa. E poi non vedete che è una sfida? Secondo me è una specie di test d’ingresso per poter andare alla festa! – interruppe Dario.

Anche Andrea era d’accordo:

– Hai ragione, Dario, e poi questi giochini da dilettanti non dovrebbero spaventarci. Mettiamoci di buona lena e pensiamo a questa maledetta domanda.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

Il tovagliolo recitava:
Sia n un numero con più di due cifre, posso scriverlo come [pmath]10a + b[/pmath], dove b è un numero minore di 10. Ad esempio se [pmath]n = 1341[/pmath], posso scriverlo [pmath]1341 = 134 * 10 + 1[/pmath], quindi [pmath]a = 134[/pmath] e [pmath]b = 1[/pmath].
Ora la regola dice che se [pmath]a – 2b[/pmath] è divisibile per 7, allora lo è anche n.
Scriviamo quindi [pmath]a – 2b = 7k[/pmath], dobbiamo far vedere che n può essere scritto come [pmath]n = 7h[/pmath] per qualche h intero.
Se [pmath]a – 2b = 7k[/pmath], allora [pmath]a = 7k + 2b[/pmath]. Sostituendolo in [pmath]n = 10a + b[/pmath] otteniamo

[pmath]n = 10 * (7k + 2b) + b = 70k + 21b = 7 * (10k + 3b)[/pmath]

come volevasi dimostrare.

– La vostra dimostrazione mi sembra buona. – disse Chiara
– Lo credo bene – rispose Dario
Intervenne Andrea nella discussione:
– Ragazzi, mi sembra che stiamo scadendo un po’. Programmi per oggi pomeriggio?
– Lezioni non ne abbiamo.
– Mi hanno detto che c’è una specie di festa inaugurale poco fuori città per tutti gli studenti iscritti al primo anno.
– Sì, ma sarà questa sera.
– Alle 22.
– Beh, allora possiamo vederci magari più tardi, così abbiamo anche il tempo di mettere a posto le cose nelle nostre rispettive abitazioni.
– E di prepararci – intervenne Giulia
– Ben detto, Giulia! – disse Chiara
– Ho capito, Ci vediamo stasera, facciamo verso le nove? Andiamo con la mia macchina. – disse il motorizzato Dario
– Ma dove è questa festa? – chiese Giulia
– Credo che sia un una cascina poco fuori città.
– Ok, ci vediamo stasera alle nove in piazza, ok?
– Va bene, a dopo.

Per permettere alla storia di passare tutto il pomeriggio, ecco la dimostrazione del problema di cui si è parlato prima. Per cercare i divisori di un numero basta controllare tutti i numeri primi minori o uguali alla radice del numero stesso.

In realtà la risposta è molto semplice. Sia n il numero di cui si vogliono calcolare i fattori primi. Ovviamente non consideriamo n come divisore, in quanto banale.
Nel caso in cui il numero non abbia divisori la regola banalmente funziona: se non ne troviamo prima della radice di n, allora concludiamo che non ce ne sono, il che è vero per ipotesi.
Ipotizziamo invece che il numero abbia un divisore. Se esso si trova prima della radice di n, lo troviamo; quindi possiamo tranquillamente supporre che sia maggiore della radice di n.
Detto k tale divisore, esisterà un numero h tale che [pmath]hk = n[/pmath], per definizione di divisore. Ricordiamo che per quanto detto sopra, sicuramente [pmath]k < n[/pmath]. Sia ora m il numero (reale e positivo) tale che [pmath]m^2 = n[/pmath]. Allora [pmath]hk = m^2[/pmath]. Ma [pmath]k > m[/pmath], quindi [pmath]m^2 = hk > hm[/pmath], da cui si deduce, semplificando per m, che [pmath]m > h[/pmath], ovvero: se esiste un divisore k maggiore della radice di n, allora ne esisterà anche un altro h minore della radice di n. Una volta trovato h, è sufficiente fare [pmath]n / h[/pmath] per trovare l’altro divisore i.
Quindi, una volta trovati tutti i divisori minori della radice di n, abbiamo anche automaticamente trovato tutti quelli maggiori.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

– Il problema, in questi casi, è di riuscire a modellizzarlo bene, ovverosia trasformare le informazioni in nostro possesso in “matematichese”, per poter risolvere il quesito applicando le regole che ci sono state insegnate dalla matematica.
– Beh, abbiamo due numeri la cui differenza è 11.111. Possiamo chiamarli x e y.
– Giusto, quindi [pmath]x – y = 11.111[/pmath].
– Ed inoltre sono quadrati perfetti.
– Come si traduce questo in matematichese?
– Be’, se intendiamo x e y come le radici dei numeri che cerchiamo, forse siamo facilitati nel risolvere il problema.

Andrea e Dario ascoltavano assorti (e anche un po’ divertiti).

– Quindi [pmath]x^2 – y^2 = 11.111[/pmath].
– E ora?
– Beh, possiamo scrivere [pmath](x + y)(x – y) = 11.111[/pmath].
– Caspita, non ci avevo proprio pensato. Ora basta scomporre in fattori primi 11.111 e il gioco è fatto, no? Tanto la scomposizione in fattori primi è unica, quindi non dovremmo avere problemi.
– Sì, sperando che 11.111 abbia solo due divisori primi.
– Perché?
– Altrimenti ci saranno più combinazioni di x e y. Se invece la scomposizione è unica, lo è anche la soluzione.
– Beh, dovrebbero essercene comunque due.
– Sì, ma una sarebbe negativa.
– Ah, sì, è vero. Beh, scomponiamo 11.111. Non è divisibile per 3, 5, 7…
– Come fai a sapere che non è divisibile per 7?
– Non conosci la regolina? Togli l’ultima cifra dal numero, in questo caso il numero 1. Poi lo raddoppi, e viene 2. Poi lo sottrai dal numero che ti è rimasto prima, ovvero 1.111. In questo caso 1.111 – 2 viene 1.109. Se questo è divisibile per 7 lo è anche l’altro, e viceversa.
– Sì, ma siamo al punto di partenza.
– Beh, possiamo iterare il metodo e applicarlo di nuovo con 1.109.
– Giusto, quindi tolgo il 9, lo raddoppio ottenendo 18 e lo sottraggo a 110. Viene 92.
– Giusto, ora prendi il 2, lo raddoppi ottenendo 4 e lo sottrai al 9. 9 – 4 fa 5, che non è divisibile per 7.
– Aspetta, non ci credo. Prendo 49, che so essere divisibile per 7. Voglio provare ad applicare la tua regolina. Raddoppio il 9 e viene 18. Ora faccio 4 – 18… ma viene un numero negativo.
– Che ti importa? Viene comunque -14 che è un multiplo di 7, anche se negativo.
– Caspita, ma è difficile da dimostrare?
– Non credo, ma al massimo lo facciamo fare ai saputelli qui a fianco…
– Giusto. Ora torniamo al nostro problema. Non è quindi divisibile per 3, 5, 7, nemmeno per 11, direi.
– No, infatti.

Nel frattempo anche Andrea e Dario si erano messi a scribacchiare su un tovagliolo.
Chiara riprese:

– Proviamo a vedere per 13.
– Il 13 nel 111… non mi pare.
– No, infatti. 17 nemmeno e neanche 19.
– Meglio, almeno aumentano le probabilità che la scomposizione sia unica.
– Nemmeno 23 e 27.
– Guarda che 27 è 9 per 3.
– Ah, già, non è primo.
– 29, 31, 37. Nemmeno loro vanno bene.
– Ma fino a dove dobbiamo arrivare? Fino a 11.111?
– No credo che basti la metà.

A questo punto intervenne Andrea:

– Vi dò uno sgamo: è sufficiente arrivare fino alla radice quadrata del numero, quindi nel vostro caso dovreste cavarvela smettendo intorno a 102 o 103… E ringraziate che non vi faccio dimostrare anche questo!
– Ok, stai tranquillo… Dove eravamo rimasti, Chiara?
– Al 37. Ora c’è il 41.
– Funziona! Il 41 va bene. 11.111 diviso 41 fa 271.
– Perfetto! Ora bisogna scomporre 271.
– E dobbiamo arrivare solamente fino alla radice di 271, quindi prima di 20.
– Sì, indicativamente sì.
– Beh, 3, 5, 7, 11 non vanno bene.
– Nemmeno 13, 17 e 19.
– Sì, è vero, quindi è primo! – urlò Giulia, non nascondendo soddisfazione.
– Quindi [pmath]x + y = 271[/pmath] e [pmath]x – y = 41[/pmath]. Ci siamo.
– Già, ora risolviamo il sistema.

Chiara e Giulia iniziarono a fare calcoli.

– Ecco! x è 156 e y è 115.
– Infatti se facciamo i quadrati vengono rispettivamente 13.225 e 24.336, la cui differenza è 11.111.

Andrea rispose con sufficienza:

– Va bene, ve la siete cavata. Questa invece è la nostra dimostrazione del vostro giochino sul 7.
– Date qua – e Chiara strappò di mano ad Andrea il tovagliolo.